数学 証明問題 解き方

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証明問題はゴールから考える

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理系の受験生であっても、数学の証明問題が苦手だという人は少なくないと思います。

 

証明問題で最も難しいところは、「どうやって解いていけばよいのかわからない」「解法の方針すら立てられない」という点ではないでしょうか?

 

誘導型の問題であれば解くことができる、という場合でも、証明問題となれば苦手意識が出る場合があります。

 

どうやって解けばわからないから、やみくもに最初に与えられた条件を式変形していき、あるときは何となく正解にたどり着いたり、あるときは元の式に戻ってしまったり、またあるときは途中でムチャクチャになってしまい、ワケが分らなくなるということもあると思います。

 

証明問題が他の数学の問題と違うところは、「最終的にどんな答えを出せばよいのかわかっている」ということです。

 

「○○が××であることを証明せよ」なんて設問ですよね?

 

たとえば「辺Aと辺Bが平行であることを証明せよ」とか「任意の角θに対し、次の等式が成り立つことを証明せよ」という感じですね。

 

この最終的な到達点(=証明すべきこと)が、最初に与えられた条件から遠く離れているほど、証明問題の難度的に高くなります。

 

どうすればいいのか?

 

それは、最終的な到達点を引き寄せることです。

 

最終的な到達点から始めてみることです。

 

最後の証明すべき式・条件を変形していって、最初に与えられた条件に近づけていくのです。

 

具体的に言うと、「辺Aと辺Bが平行であることを証明せよ」という問題であれば、「辺Aと辺Bが平行であるためには何が言えればよいのか?」と考えるのです。

 

そうすると、同位角の関係である角xと角yが同じ角度であることを示せばよいことがわかります。

 

次に角xと角yが同じ角度であるためには・・・というように、通常の「与えられた条件→結論」だけではなく、「結論→与えられた条件」という流れでも考えてみるのです。

 

もちろん、結論から逆向きに考えるだけでは、最初に与えられた条件にたどり着けないこともありますので、通常の「与えられた条件→結論」の思考も行います。

 

両方向の思考が互いにぶつかりあったところで、証明問題は最初から最後まで一つの線でつながるのです。

 

ちょうど、トンネルを掘るのに山の片側だけから掘るのではなく、両側から掘っていき、中間地点で貫通するという感じでしょうか。

 

参考書や問題集の解答例を読んで、「こんな式変形、思いつくか〜ヽ(`⌒´)ノ 」という証明問題がありますが、「逆から考える」という思考方法があれば、意外と納得できたりするものです。


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